이 글은 유튜브에 업로드된 강의 김성범[소장 / 인공지능 공학 연구소] 핵심 확률/통계를 보고 작성했다.
조건부 확률 분포 [Conditional Distribution]
$$P(E|F)=\frac{P(E\cap F)}{P(F)}$$
$$\begin{align}P_{X|Y}(x|y) &= P(X=x | Y=y) \\ &= \frac{P(X=x, Y=y)}{P(Y=y)} \\ &= \frac{p_{XY}(x,y)}{p_Y(y)}\end{align}$$
example
$$\begin{align}P(0,0)&=0.4, \quad P(0,1)=0.2 \\ P(1,0)&=0.1, \quad P(1,1)=0.3\end{align}$$
- 여기서 $Y=1$일 때 확률.
$$P_Y(1)=\sum\limits_x P(x,1)=P(0,1)+P(1,1) = 0.2+0.3=0.5$$
$$P_{X|Y}(X=0|Y=1)=\frac{P_{XY}(0,1)}{P_Y(1)} = \frac{0.2}{0.5}=0.4$$
$$P_{X|Y}(X=1|Y=1)=\frac{P_{XY}(1,1)}{P_Y(1)} = \frac{0.3}{0.5}=0.6$$
$X, Y$가 주어지고, 아래의 p.d.f가 주어질 때.
$$f_{XY}(x,y)=\begin{cases} \frac{12}{5}x(2-x-y) &\quad 0<x<1, 0<y<1 \\ 0 & \quad \text{o.w}\end{cases}$$
- $0<y<1$일 때 조건부 확률
$$\begin{align}f_{X|Y}(x|y)&=\frac{f_{XY}(x,y)}{f_Y(y)} = \frac{f_{XY}(x,y)}{\int_0^1 f(x,y)dx} \\ &= \frac{\frac{12}{5}x(2-x-y)}{\frac{12}{5}\int_0^1 x(2-x-y)dx} \\ &=\frac{x(2-x-y)}{\frac{2}{3}-\frac{y}{2}} \\ \therefore f_{X|Y}(x|y) &=\frac{6x(2-x-y)}{4-3y}\end{align}$$
