이 글은 유튜브에 업로드된 강의 김성범[소장 / 인공지능 공학 연구소] 핵심 확률/통계를 보고 작성했다.
Chapter 06. Jointly Random Variables
Joint probability function [결합 확률 함수]
- 두 개 혹은 그 이상의 확률 변수가 고려된 확률 함수.
$$f_{XY}(x,y)=P[X=x,Y=y]$$
- 두 개의 확률 변수 [Bivariate]
- 두 확률 변수 : $X, Y$
- 결합 확률 함수 : $f_{XY}(x,y)$
- 결합 확률 분포 [pdf / pmf]
- joint p.m.f
$$\begin{align}P_{XY}(x,y)=P[X=x, Y=y] \\ 0\leq P_{XY}(x,y)\leq 1 \quad \text{for all }x \text{ and } y \\ \sum_x\sum_y P_{XY}(x,y)=1\end{align}$$ - joint p.d.f
$$\begin{align}f_{XY}(x,y)\geq 0 \\ P[(X,Y)\in A]=\int \int_A f_{XY}(x,y)dx dy \\ \int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty f_{XY}(x,y)dx dx = 1\end{align}$$ - joint c.d.f
$$F_{XY}(a,b)=P[X\leq a, Y\leq b]$$
- 이산형
$$P(a\leq X\leq b, c\leq Y\leq d)=\sum_{a\leq x\leq b}\sum_{c\leq y\leq d}P_{XY}(x,y)$$
- 연속형
$$P(a\leq X\leq b, c\leq Y\leq d)=\int_a^b \int_c^d f_{XY}(x,y)dy dx$$
example
- joint p.d.f가 다음과 같이 주어진다. 이때 $c$를 구하시오.
$$f_{XY}(x,y)=c xy \quad 0<x<1, 0<y<2$$
$$\int_0^2 \int_0^1 cxy dx dy = 1$$
$$\begin{align}& \int_0^2 cy\left[ \frac{1}{2}x^2\right]_0^1 dy \\ &= \int_0^2\frac{1}{2}cy dy \\ &= \left[ \frac{1}{4}cy^2\right]_0^2 \\ &= c=1\end{align}$$
- 주사위를 던질 때, 확률 변수가 다음과 같이 주어진다.
$A$ : 짝수일 때 1, 홀수일 때 0
$B$ : 소수일 때 1
- 3개의 파란 펜, 2개의 빨간펜, 3개의 초록펜이 있다. 여기서 두 개의 펜을 선택할 때의 확률.
- 확률 변수 :
$X$ : 파란 펜이 나오는 개수
$Y$ : 빨간펜이 나오는 개수
$$(x,y) = \{(0,0),(0,1),(1,0),(1,1),(2,0),(0,2)\}$$
- a) 결합 확률 질량 함수 $P_{XY}(x,y)$를 구하시오
$$P_{XY}(x,y)=\frac{\binom{3}{x}\binom{2}{y}\binom{3}{2-(x+y)}}{\binom{8}{2}}$$
- b) $P[(X,Y)\in A], A$는 ${(x,y) | x+y \leq 1}$
$$\begin{align}P_{XY}(x,y) &= P(0,0) + P(0,1) + P(1,0) \\ &= \frac{\binom{3}{0}\binom{2}{0}\binom{3}{2}}{\binom{8}{2}}+\frac{\binom{3}{0}\binom{2}{1}\binom{3}{1}}{\binom{8}{2}}+\frac{\binom{3}{1}\binom{2}{0}\binom{3}{1}}{\binom{8}{2}} \end{align}$$
- joint p.d.f가 다음과 같이 주어질 때.
$$f(x,y)=\begin{cases}2e^{-x}e^{-2y}& \quad 0<x<\infty ,0<y<\infty \\ 0 & \quad \text{otherwise}\end{cases}$$
아래의 식에서 밖을 감싸는 적분은 $y$변수이고 안쪽의 적분이 $x$이다. 따라서 안쪽의 $x$값에 대한 적분의 범위가 $0<x<y$이므로 항상 $y$ 보다 작은 확률을 알 수 있다.
$$\begin{align}P(X<Y)&=\int_0^\infty \int_0^y 2e^{-x}e^{-2y}dx dy \\ &= \int_0^\infty 2e^{-2y}(1-e^{-y})dy \\&= \int_0^\infty 2e^{-2y}dy - \int_0^\infty 2e^{-3y}dy \\ &= \frac{1}{3} \end{align}$$
