이 글은 유튜브에 업로드된 강의 김성범[소장 / 인공지능 공학 연구소] 핵심 확률/통계를 보고 작성했다.
주변 확률 함수 [Marginal Probability Function]
- X, Y 두 확률 변수가 주어졌을 때 주변 확률 함수는?
- 이산형
$$\begin{align}g(x)&=\sum_y p_{XY}(x,y) \\ h(y)&=\sum_x p_{XY}(x,y)\end{align}$$
- 연속형
$$\begin{align}g(x)&=\int_{-\infty}^{\infty} f_{XY}(x,y)dy \\ h(y)&=\int_{-\infty}^{\infty} f_{XY}(x,y)dx\end{align}$$
- 누적 확률 분포
$$\begin{align}F_X(a) = P\{X\leq a\} &= P\{X\leq a, Y<\infty \} \\ &= \lim\limits_{b \to \infty}P\{X\leq a, Y\leq b\} \\ &= \lim\limits_{b\to \infty}F_{XY}(a,b) \sim F_{XY}(a,\infty)\end{align}$$
- $a$를 고정한 모든 $b$에 대한 확률
독립 확률 변수 [Independent Randomvariable]
$$P\{X\in A, Y\in B\}=P\{X\in A\}P\{Y\in B\}$$
위 식을 만족하면 독립이다.
Example
p.m.f와 확률 변수 $X, Y$가 있다.
$$p(x,y)=\theta^{y+1}(1-\theta)^{x-y}\quad x=1,2,3,\cdots ,\quad y=0,1$$
$X\sim \text{Geometric}(\theta)$이고 $Y\sim \text{Bernoulli}(\theta)$일 때, $X, Y$가 독립인가?
$$\begin{align}P_{XY}(x,y) &= \theta^{y+1}(1-\theta)^{x-y} \\ &= \theta^y \theta(1-\theta)^{x-1+1-y} \\ &= (1-\theta)^{x-1}\theta \cdot \theta^y(1-\theta)^{1-y} = \text{Geometric} \cdot \text{Bernoulli} \\ &= P_X(x) \cdot P_Y(y)\end{align}$$
$\therefore$ 독립이다.
